Упр.671 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin(x-пи/4) + cos(x-пи/4) = sin2x.

1. $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x$$

   Раскроем скобки по формулам сложения:

   $$\sin x\cdot \cos\frac{\pi}{6}+\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{6}+\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{3}-\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{3}=1+\cos 2x$$

   $$\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x+\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x=1+\cos 2x$$

   $$\cos x=1+\cos 2x$$

   Так как $$1+\cos 2x=2\cos^2 x,$$ получаем:

   $$\cos x=2\cos^2 x$$

   $$2\cos^2 x-\cos x=0$$

   $$\cos x(2\cos x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x$$

   Раскроем скобки:

   $$\sin x\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{4}+\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{4}=\sin 2x$$

   $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x=\sin 2x$$

   $$\sqrt2\,\sin x=\sin 2x$$

   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ имеем:

   $$\sqrt2\,\sin x=2\sin x\cos x$$

   $$\sin x(\sqrt2-2\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или

   $$x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$