Упр.671 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x$$
- $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x$$
1) Раскроем скобки по формулам сложения:
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x$$
$$\sin x\cdot \cos\frac{\pi}{6}+\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{6}+\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{3}-\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{3}=1+\cos 2x$$
$$\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x+\frac12\cos x-\frac{\sqrt3}{2}\sin x=1+\cos 2x$$
$$\cos x=1+\cos 2x$$
$$\cos x=1+2\cos^2 x-1$$
$$\cos x=2\cos^2 x$$
$$2\cos^2 x-\cos x=0$$
$$\cos x(2\cos x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) Аналогично раскрываем скобки:
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin 2x$$
$$\sin x\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{4}+\cos x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\sin x\cdot \sin\frac{\pi}{4}=\sin 2x$$
$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x=\sin 2x$$
$$\sqrt2\,\sin x=2\sin x\cos x$$
$$\sin x(\sqrt2-2\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
Следовательно,
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
