Упр.670 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1+2\sin x=\sin 2x+2\cos x$$
2. $$1+3\cos x=\sin 2x+3\sin x$$

1) Преобразуем уравнение:

$$1+2\sin x=\sin 2x+2\cos x$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x=2\sin x\cos x+2\cos x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2-2\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x-2\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

$$\cos x-\sin x-2=0$$

Но $$\cos x-\sin x\in\left[-\sqrt2,\sqrt2\right],$$ поэтому это уравнение решений не имеет.

Значит,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$1+3\cos x=\sin 2x+3\sin x$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+3\cos x=2\sin x\cos x+3\sin x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos x-3\sin x=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2+3\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x+3\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

$$\cos x-\sin x+3=0$$

Но $$\cos x-\sin x\in\left[-\sqrt2,\sqrt2\right],$$ поэтому это уравнение решений не имеет.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.