Упр.67 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить выражение: $$\frac{c^{3/2}}{c^{1/2}+b^{1/2}}-\frac{cb^{1/2}}{b^{1/2}-c^{1/2}}+\frac{2c^2-4cb}{c-b}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{c^{3/2}}{c^{1/2}+b^{1/2}}-\frac{cb^{1/2}}{b^{1/2}-c^{1/2}}+\frac{2c^2-4cb}{c-b}$$

Заметим, что

$$b^{1/2}-c^{1/2}=\frac{b-c}{b^{1/2}+c^{1/2}}=-\frac{c-b}{b^{1/2}+c^{1/2}}.$$

Тогда вторую дробь удобно привести к общему знаменателю с первой:

$$\frac{c^{3/2}}{c^{1/2}+b^{1/2}}-\frac{cb^{1/2}}{b^{1/2}-c^{1/2}}=\frac{c^{3/2}}{c^{1/2}+b^{1/2}}+\frac{cb^{1/2}}{c^{1/2}-b^{1/2}}.$$

Приведём первые две дроби к общему знаменателю:

$$\frac{c^{3/2}(c^{1/2}-b^{1/2})+cb^{1/2}(c^{1/2}+b^{1/2})}{(c^{1/2}+b^{1/2})(c^{1/2}-b^{1/2})}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$c^{3/2}c^{1/2}-c^{3/2}b^{1/2}+cb^{1/2}c^{1/2}+cb^{1/2}b^{1/2} = c^2-c^{3/2}b^{1/2}+cb^{1/2}c^{1/2}+cb.$$

Так как $$c^{3/2}b^{1/2}=c\sqrt{cb}$$ и $$cb^{1/2}c^{1/2}=c\sqrt{cb},$$ эти слагаемые сокращаются, поэтому

$$\frac{c^{3/2}}{c^{1/2}+b^{1/2}}-\frac{cb^{1/2}}{b^{1/2}-c^{1/2}} = \frac{c^2+cb}{c-b}.$$

Теперь сложим с третьей дробью:

$$\frac{c^2+cb}{c-b}+\frac{2c^2-4cb}{c-b} = \frac{3c^2-3cb}{c-b} = \frac{3c(c-b)}{c-b} =3c.$$

Ответ: $$3c$$