Упр.668 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение (668—675).
- 1) $$\sin 2x+2\cos 2x=1$$; 2) $$\cos 2x+3\sin 2x=3$$.
1) $$\sin 2x+2\cos 2x=1$$
Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$2\sin x\cos x+2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$
$$2\sin x\cos x+2\cos^2 x-2\sin^2 x-1=0$$
Так как $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$, получаем:
$$2\sin x\cos x+3\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$
Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$2\tg x+3-3\tg^2 x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$3y^2-2y-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-3)=4+36=40$$
$$y=\frac{2\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}$$
Следовательно,
$$\tg x=\frac{1+\sqrt{10}}{3} \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$
Отсюда
$$x=\arctg\frac{1+\sqrt{10}}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=\arctg\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\cos 2x+3\sin 2x=3$$
Подставим формулы двойного угла:
$$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=3(\cos^2 x+\sin^2 x)$$
$$-2\cos^2 x-4\sin^2 x+6\sin x\cos x=0$$
Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$-2-4\tg^2 x+6\tg x=0$$
$$2\tg^2 x-3\tg x+1=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2-3y+1=0$$
$$D=9-8=1$$
$$y=\frac{3\pm 1}{4}$$
$$y_1=\frac12,\quad y_2=1$$
Значит,
$$\tg x=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$
Отсюда
$$x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\arctg\frac{1+\sqrt{10}}{3}+\pi n,\; x=\arctg\frac{1-\sqrt{10}}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
