Упр.668 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

668. 1) sin 2х + 2 cos 2х = 1;
2) cos 2х + 3 sin 2х = 3.

1. $$\sin 2x+2\cos 2x=1$$

   Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

   $$2\sin x\cos x+2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$

   $$2\sin x\cos x+2\cos^2 x-2\sin^2 x=1$$

   $$2\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg x+1-3\tg^2 x=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$3y^2-2y-1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$

   $$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$

   $$y_1=-\frac13,\quad y_2=1$$

   Значит,

   $$\tg x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

   Отсюда

   $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\cos 2x+3\sin 2x=3$$

   Подставим формулы двойного угла:

   $$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=3(\cos^2 x+\sin^2 x)$$

   $$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=3\cos^2 x+3\sin^2 x$$

   $$-2\cos^2 x-4\sin^2 x+6\sin x\cos x=0$$

   Разделим на $$2\cos^2 x$$:

   $$-1-2\tg^2 x+3\tg x=0$$

   $$2\tg^2 x-3\tg x+1=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$2y^2-3y+1=0$$

   $$D=9-8=1$$

   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

   $$y_1=\frac12,\quad y_2=1$$

   Следовательно,

   $$\tg x=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

   Отсюда

   $$x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$