Упр.665 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin 3x=\sin 5x$$
2. $$\cos^2 3x-\cos 3x\cos 5x=0$$
3. $$\cos x=\cos 3x$$
4. $$\sin x\sin 5x-\sin^2 5x=0$$

1) $$\sin 3x=\sin 5x$$

Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

$$\sin 3x-\sin 5x=0$$

$$2\sin\frac{3x-5x}{2}\cos\frac{3x+5x}{2}=0$$

$$-2\sin x\cos 4x=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0$$

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

или

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos^2 3x-\cos 3x\cos 5x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos 3x(\cos 3x-\cos 5x)=0$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos 3x-\cos 5x=-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}$$

$$\cos 3x\cdot(-2)\sin 4x\sin(-x)=0$$

$$2\cos 3x\sin 4x\sin x=0$$

Отсюда:

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3) $$\cos x=\cos 3x$$

Перенесём в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 3x=0$$

$$-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=0$$

$$2\sin 2x\sin x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

$$2x=\pi n,\; n\in\mathbb Z \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2}$$

или

$$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

4) $$\sin x\sin 5x-\sin^2 5x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin 5x(\sin x-\sin 5x)=0$$

Применим формулу разности синусов:

$$\sin x-\sin 5x=2\cos\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2}$$

$$\sin 5x\cdot 2\cos 3x\sin(-2x)=0$$

$$-2\sin 5x\sin 2x\cos 3x=0$$

Отсюда:

$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$

$$x=\frac{\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi n}{5},\; x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$