Упр.664 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 4 sin x + 3 cos x = 6.

1. $$5\sin x+\cos x=5$$

   Используем формулы $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$ и $$\cos x=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}$$:

   $$ 5\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right) =5\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right) $$

   $$ 10\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}-5\cos^2\frac{x}{2}-5\sin^2\frac{x}{2}=0 $$

   $$ 10\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-6\sin^2\frac{x}{2}-4\cos^2\frac{x}{2}=0 $$

   Разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

   $$ 10\tan\frac{x}{2}-6\tan^2\frac{x}{2}-4=0 $$

   Пусть $$y=\tan\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$ 6y^2-10y+4=0 $$

   $$ 3y^2-5y+2=0 $$

   $$ D=25-24=1,\qquad y_1=\frac{5-1}{6}=\frac23,\qquad y_2=\frac{5+1}{6}=1 $$

   Следовательно,

   $$ \tan\frac{x}{2}=\frac23 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\arctan\frac23+\pi n $$

   $$ x=2\arctan\frac23+2\pi n $$

   $$ \tan\frac{x}{2}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$

2. $$4\sin x+3\cos x=6$$

   Преобразуем левую часть через половинный угол:

   $$ 4\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+3\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right) =6\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right) $$

   $$ 8\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-9\sin^2\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0 $$

   Разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

   $$ 8\tan\frac{x}{2}-9\tan^2\frac{x}{2}-3=0 $$

   Пусть $$y=\tan\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$ 9y^2-8y+3=0 $$

   $$ D=64-108=-44<0 $$

   Действительных корней нет.

Ответ

1) $$x=2\arctan\frac23+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) Корней нет.