Упр.662 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) 2tg2 x — tg x — 3 = 0;
3) tg x — 12 ctg x + 1 = 0;
4) tg x + ctg x = 2.
$$\tg^2 x+3\tg x=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2+3y=0$$
$$y(y+3)=0$$
Отсюда
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=-3.$$
Значит,
$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,$$
где $$n\in \mathbb{Z}.$$
$$2\tg^2 x-\tg x-3=0$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2-y-3=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25.$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac32.$$
Следовательно,
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=\frac32 \Rightarrow x=\arctg\frac32+\pi n,$$
где $$n\in \mathbb{Z}.$$
$$\tg x-12\ctg x+1=0$$
Так как $$\ctg x=\frac{1}{\tg x},$$ положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y-\frac{12}{y}+1=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+y-12=0$$
$$D=1+48=49.$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$
$$y_1=-4,\quad y_2=3.$$
Значит,
$$\tg x=-4 \Rightarrow x=-\arctg 4+\pi n,$$
$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$
где $$n\in \mathbb{Z}.$$
$$\tg x+\ctg x=2$$
Положим $$y=\tg x$$. Тогда
$$y+\frac{1}{y}=2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-2y+1=0$$
$$\left(y-1\right)^2=0.$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
где $$n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
1) $$x=\pi n,\; -\arctg 3+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; \arctg\frac32+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$
3) $$x=-\arctg 4+\pi n,\; \arctg 3+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$
