Упр.661 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$6\sin 2x-\cos x+6=0$$
2. $$8\cos 2x-12\sin x+7=0$$

1) $$6\sin^2 x-\cos x+6=0$$

Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$6(1-\cos^2 x)-\cos x+6=0$$

$$6\cos^2 x+\cos x-12=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6y^2+y-12=0$$

$$D=1+4\cdot 6\cdot 12=289=17^2$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{12}$$

$$y_1=-\frac{3}{2},\qquad y_2=\frac{4}{3}$$

Оба значения не подходят, так как $$|\cos x|\le 1$$. Следовательно, решений нет.

2) $$8\cos^2 x-12\sin x+7=0$$

Заменим $$\cos^2 x$$ по формуле $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$8(1-\sin^2 x)-12\sin x+7=0$$

$$8\sin^2 x+12\sin x-15=0$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда:

$$8y^2+12y-15=0$$

$$D=12^2-4\cdot 8\cdot(-15)=144+480=624=16\cdot 39$$

$$y=\frac{-12\pm 4\sqrt{39}}{16}=\frac{-3\pm \sqrt{39}}{4}$$

Значение $$\frac{-3-\sqrt{39}}{4}<-1$$, поэтому не подходит. Остаётся

$$\sin x=\frac{\sqrt{39}-3}{4}$$

Тогда общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{39}-3}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) Решений нет.

2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{39}-3}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$