Упр.660 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 3 sin2 x — 5 sin x -2 = 0;
3) cos2 x — 2 cos x = 0;
4) 6 cos2 x + 7 cos x — 3 = 0.

1. $$2\sin^2 x+\sin x=0$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда

   $$2y^2+y=0$$

   $$y(2y+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$

   Если $$\sin x=0$$, то

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Если $$\sin x=-\frac12$$, то

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда

   $$3y^2-5y-2=0$$

   $$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$

   $$y_1=-\frac13,\quad y_2=2.$$

   Значение $$\sin x=2$$ невозможно, поэтому остаётся

   $$\sin x=-\frac13.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos^2 x-2\cos x=0$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда

   $$y^2-2y=0$$

   $$y(y-2)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=2.$$

   Значение $$\cos x=2$$ невозможно, поэтому

   $$\cos x=0.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда

   $$6y^2+7y-3=0$$

   $$D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121$$

   $$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}$$

   $$y_1=-\frac32,\quad y_2=\frac13.$$

   Значение $$\cos x=-\frac32$$ невозможно, поэтому

   $$\cos x=\frac13.$$

   Тогда

   $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n$$ или $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$