Упр.66 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

а) (корень a — корень b)/ (a1/4 — 1/4);
2) (m1/2 + n1/2)/ (b+2 (корень mn) + n);
3) (c-2(c1/2) + 1)/ ((корень c) — 1).

1. $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a^{\frac14}-b^{\frac14}}=\frac{a^{\frac12}-b^{\frac12}}{a^{\frac14}-b^{\frac14}}$$
   Представим числитель как разность квадратов:
   $$a^{\frac12}-b^{\frac12}=\left(a^{\frac14}\right)^2-\left(b^{\frac14}\right)^2=\left(a^{\frac14}-b^{\frac14}\right)\left(a^{\frac14}+b^{\frac14}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a^{\frac14}-b^{\frac14}}=\frac{\left(a^{\frac14}-b^{\frac14}\right)\left(a^{\frac14}+b^{\frac14}\right)}{a^{\frac14}-b^{\frac14}}=a^{\frac14}+b^{\frac14}.$$

2. $$\frac{m^{\frac12}+n^{\frac12}}{m+2\sqrt{mn}+n}$$
   Знаменатель представим в виде квадрата суммы:
   $$m+2\sqrt{mn}+n=\left(\sqrt m+\sqrt n\right)^2=\left(m^{\frac12}+n^{\frac12}\right)^2.$$
   Тогда
   $$\frac{m^{\frac12}+n^{\frac12}}{m+2\sqrt{mn}+n}=\frac{m^{\frac12}+n^{\frac12}}{\left(m^{\frac12}+n^{\frac12}\right)^2}=\frac{1}{m^{\frac12}+n^{\frac12}}.$$

3. $$\frac{c-2\sqrt c+1}{\sqrt c-1}$$
   Числитель — квадрат разности:
   $$c-2\sqrt c+1=\left(\sqrt c-1\right)^2.$$
   Тогда
   $$\frac{c-2\sqrt c+1}{\sqrt c-1}=\frac{\left(\sqrt c-1\right)^2}{\sqrt c-1}=\sqrt c-1.$$

Ответ

1) $$a^{\frac14}+b^{\frac14}$$
2) $$\frac{1}{m^{\frac12}+n^{\frac12}}$$
3) $$\sqrt c-1$$