Упр.658 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(1+\sqrt{2}\cos x\right)\left(1-4\sin x\cos x\right)=0$$
2. $$\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)\left(1+2\sin 2x\cos 2x\right)=0$$

(1) Рассмотрим уравнение

$$\left(1+\sqrt2\cos x\right)\left(1-4\sin x\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$1+\sqrt2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-4\sin x\cos x=0.$$

1) $$1+\sqrt2\cos x=0$$

$$\cos x=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$1-4\sin x\cos x=0$$

$$4\sin x\cos x=1,$$

$$2\sin 2x=1,$$

$$\sin 2x=\frac12.$$

Отсюда

$$2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

(2) Рассмотрим уравнение

$$\left(1-\sqrt2\cos x\right)\left(1+2\sin 2x\cos 2x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, если

$$1-\sqrt2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin 2x\cos 2x=0.$$

1) $$1-\sqrt2\cos x=0$$

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$1+2\sin 2x\cos 2x=0$$

Так как $$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x,$$ получаем

$$1+\sin 4x=0,$$

$$\sin 4x=-1.$$

Тогда

$$4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\; x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$