Упр.657 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12$$

Для уравнения $$\sin t=-\frac12$$ имеем:

$$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

Отсюда

$$3x=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{\pi}{12}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3};$$

$$3x=\frac{\pi}{4}+\frac{7\pi}{6}+2\pi n=\frac{17\pi}{12}+2\pi n,$$

$$x=\frac{17\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3}.$$

$$1-\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1$$

Так как $$\sin t=1$$ при $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ то

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$3+4\sin(2x+1)=0$$

$$\sin(2x+1)=-\frac34$$

Для уравнения $$\sin t=-\frac34$$ получаем:

$$t=(-1)^{n+1}\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$2x+1=(-1)^{n+1}\arcsin\frac34+\pi n,$$

$$x=\frac12\left((-1)^{n+1}\arcsin\frac34-1+\pi n\right).$$

Итак,

$$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac34-\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

$$5\sin(2x-1)-2=0$$

$$\sin(2x-1)=\frac25$$

Для уравнения $$\sin t=\frac25$$ имеем:

$$t=(-1)^n\arcsin\frac25+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$2x-1=(-1)^n\arcsin\frac25+\pi n,$$

$$x=\frac12\left((-1)^n\arcsin\frac25+1+\pi n\right).$$

Ответ:

$$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac25+\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$