Упр.656 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение (656—665).

1. 656.
   1) $$\cos(4-2x)=-\frac{1}{2}$$;
   2) $$\cos(6+3x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   3) $$\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$;
   4) $$2\cos\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)-\sqrt{3}=0$$.

Решение

1. $$\cos(4-2x)=-\frac12$$

   Тогда

   $$4-2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$-2x=-4\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$

   $$x=2\mp \frac{\pi}{3}-\pi k.$$

   Так как $$k\in\mathbb Z$$, можно записать:

   $$x=2\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2. $$\cos(6+3x)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$6+3x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$3x=-6\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,$$

   $$x=-2\pm \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}k,\quad k\in \mathbb Z.$$

3. $$\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$

   $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$2x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

   1) $$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k.$$

   2) $$2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow 2x=-\pi+2\pi k \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+\pi k.$$

4. $$2\cos\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)-\sqrt3=0$$

   $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{3}-3x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

   1) $$\frac{\pi}{3}-3x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \Rightarrow -3x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi}{3}k.$$

   2) $$\frac{\pi}{3}-3x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \Rightarrow -3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}k.$$

Ответ

1) $$x=2\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

2) $$x=-2\pm \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}k,\ k\in \mathbb Z$$

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi}{3}k,\ x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}k,\ k\in \mathbb Z$$