Упр.654 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^2 x+2\sin x>0$$
2. $$\cos^2 x-\cos x<0$$

1) $$\sin^2 x+2\sin x>0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(\sin x+2)>0$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$\sin x+2>0$$ при всех $$x.$$ Значит, неравенство равносильно

$$\sin x>0.$$

Отсюда

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos^2 x-\cos x<0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(\cos x-1)<0$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$\cos x-1\le 0.$$ Чтобы произведение было отрицательным, нужно

$$0<\cos x<1.$$

Но при $$\cos x=1$$ произведение равно нулю, поэтому остаётся

$$\cos x>0,\quad \cos x\ne 1.$$

Следовательно,

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x\ne 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

То есть

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi n \quad \text{или} \quad 2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi n,\quad 2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$