Упр.650 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) sinx < = корень 2/2; 3)sinx < = -корень 2/2; 4) sinx > — корень 3/2;
$$\sin x>\frac12$$
Для неравенства вида $$\sin x>\alpha$$ имеем:
$$\arcsin \alpha+2\pi n<x<\pi-\arcsin \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Так как $$\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6},$$ то
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x\le \frac{\sqrt2}{2}$$
Для неравенства вида $$\sin x\le \alpha$$ имеем:
$$-\pi-\arcsin \alpha+2\pi n\le x\le \arcsin \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Так как $$\arcsin \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$ то
$$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x\le -\frac{\sqrt2}{2}$$
Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$ получаем:
$$-\pi-\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n\le x\le \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n,$$
$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x>-\frac{\sqrt3}{2}$$
Для неравенства вида $$\sin x>\alpha$$ имеем:
$$\arcsin \alpha+2\pi n<x<\pi-\arcsin \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},$$ то
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
