Упр.65 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Разложить на множители, используя тождество $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ или $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$:
   1) $$a-x$$;
   2) $$x^{3/2}-y^{3/2}$$;
   3) $$a^{1/2}-b^{1/2}$$;
   4) $$27a+c^{1/2}$$.

1) $$a-x=a^1-x^1=\left(a^{\frac13}\right)^3-\left(x^{\frac13}\right)^3$$

По формуле $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ получаем:

$$a-x=\left(a^{\frac13}-x^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+a^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}\right).$$

2) $$x^{\frac32}-y^{\frac32}=\left(x^{\frac12}\right)^3-\left(y^{\frac12}\right)^3$$

Тогда

$$x^{\frac32}-y^{\frac32}=\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)\left(x+y^{\frac12}x^{\frac12}+y\right).$$

3) $$a^{\frac12}-b^{\frac12}=\left(a^{\frac16}\right)^3-\left(b^{\frac16}\right)^3$$

Следовательно,

$$a^{\frac12}-b^{\frac12}=\left(a^{\frac16}-b^{\frac16}\right)\left(a^{\frac13}+a^{\frac16}b^{\frac16}+b^{\frac13}\right).$$

4) $$27a+c^{\frac12}=3^3a+ c^{\frac12}=\left(3a^{\frac13}\right)^3+\left(c^{\frac16}\right)^3$$

Применяем формулу суммы кубов:

$$27a+c^{\frac12}=\left(3a^{\frac13}+c^{\frac16}\right)\left(9a^{\frac23}-3a^{\frac13}c^{\frac16}+c^{\frac13}\right).$$

Ответ

$$\left(a^{\frac13}-x^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+a^{\frac13}x^{\frac13}+x^{\frac23}\right);$$

$$\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)\left(x+y^{\frac12}x^{\frac12}+y\right);$$

$$\left(a^{\frac16}-b^{\frac16}\right)\left(a^{\frac13}+a^{\frac16}b^{\frac16}+b^{\frac13}\right);$$

$$\left(3a^{\frac13}+c^{\frac16}\right)\left(9a^{\frac23}-3a^{\frac13}c^{\frac16}+c^{\frac13}\right).$$