Упр.648 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

648 1) cosx > =корень 2/2;
2) cosx < корень 3/2; 3) cosx > -корень 3/2;
4) cosx < =-корень 2/2.

1. $$\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Для неравенства вида $$\cos x \ge a$$ имеем:

   $$-\arccos a + 2\pi n \le x \le \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \le x \le \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n,$$

   $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Для неравенства вида $$\cos x < a$$ имеем:

   $$\arccos a + 2\pi n < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < 2\pi - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n,$$

   $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. $$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Для неравенства вида $$\cos x > a$$ получаем:

   $$-\arccos a + 2\pi n < x < \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n < x < \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n,$$

   $$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

4. $$\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Для неравенства вида $$\cos x \le a$$ имеем:

   $$\arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi — \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n \le x \le 2\pi — \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n,$$

   $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

3) $$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

4) $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$