Упр.647 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=a$$ не имеет корней.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=a$$

Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\cos^2 x$$:

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x-a(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$(1-a)\sin^2 x+\sin x\cos x-(2+a)\cos^2 x=0$$

Если $$\cos x=0$$, то левая часть равна $$1\neq a$$, значит такие значения $$x$$ не подходят для решения при любом $$a$$. Поэтому разделим на $$\cos^2 x$$:

$$(1-a)\tg^2 x+\tg x-(2+a)=0$$

Обозначим $$t=\tg x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$(1-a)t^2+t-(2+a)=0$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы дискриминант был отрицательным:

$$D=1-4(1-a)(-2-a)=1+4(1-a)(2+a)$$

$$D=1+8-4a-4a^2=9-4a-4a^2$$

Требуем:

$$9-4a-4a^2<0$$

$$4a^2+4a-9>0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$a=\frac{-4\pm\sqrt{16+144}}{8}=\frac{-4\pm4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{10}}{2}$$

Так как коэффициент при $$a^2$$ положителен, то неравенство выполняется вне промежутка между корнями:

$$a<\frac{-1-\sqrt{10}}{2}\quad \text{или}\quad a>\frac{-1+\sqrt{10}}{2}$$

Ответ

$$a<\frac{-1-\sqrt{10}}{2}\ \text{или}\ a>\frac{-1+\sqrt{10}}{2}$$