Упр.646 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 446. Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$4\sin^2 x+2(a-3)\cos x+3a-4=0$$ имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем уравнение, используя формулу $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$4(1-\cos^2 x)+2(a-3)\cos x+3a-4=0,$$

$$4-4\cos^2 x+2(a-3)\cos x+3a-4=0,$$

$$4\cos^2 x-2(a-3)\cos x-3a=0.$$

Сделаем замену $$t=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение

$$4t^2-2(a-3)t-3a=0.$$

Найдём его корни:

$$D=[-2(a-3)]^2-4\cdot 4\cdot(-3a)=4(a-3)^2+48a=4(a+3)^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{2(a-3)\pm 2(a+3)}{8}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac{a-3-(a+3)}{4}=-\frac{3}{2}, \qquad t_2=\frac{a-3+(a+3)}{4}=\frac{a}{2}.$$

Значение $$t_1=-\frac{3}{2}$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

Остаётся уравнение

$$\cos x=\frac{a}{2}.$$

Оно имеет решения тогда и только тогда, когда

$$\left|\frac{a}{2}\right|\le 1,$$

то есть

$$|a|\le 2.$$

При этом решения исходного уравнения имеют вид

$$x=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$|a|\le 2; \qquad x=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$