Упр.646 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 446 Найти все значения а, при которых уравнением 4 sin2 х + 2 (а — 3) cos х + 3а — 4 = О имеет корни, и решить это уравнение. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 646 1111

Преобразуем уравнение, используя формулу $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$ 4(1-\cos^2 x)+2(a-3)\cos x+3a-4=0 $$

$$ 4-4\cos^2 x+2(a-3)\cos x+3a-4=0 $$

$$ 4\cos^2 x-2(a-3)\cos x-3a=0 $$

Сделаем замену $$t=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$ 4t^2-2(a-3)t-3a=0 $$

Найдём дискриминант:

$$ D=[-2(a-3)]^2-4\cdot 4\cdot(-3a)=4(a-3)^2+48a=4(a+3)^2 $$

Следовательно,

$$ t_{1,2}=\frac{2(a-3)\pm 2(a+3)}{8} $$

Отсюда:

$$ t_1=-\frac{3}{2}, \qquad t_2=\frac{a}{2} $$

Возвращаемся к переменной $$x$$.

Значение $$\cos x=-\frac{3}{2}$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$.

Остаётся уравнение

$$ \cos x=\frac{a}{2} $$

Оно имеет решения тогда и только тогда, когда

$$ \left|\frac{a}{2}\right|\le 1 $$

то есть

$$ |a|\le 2 $$

Тогда решения исходного уравнения:

$$ x=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

$$ |a|\le 2,\qquad x=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$