Упр.645 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить систему уравнений:

1. $$\cos(x+y)=0,\quad \cos(x-y)=1$$;
2. $$\sin x-\sin y=1,\quad \sin 2x+\cos 2y=1$$.

1) Из первого уравнения получаем

$$\cos(x+y)=0 \;\Rightarrow\; x+y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Из второго уравнения

$$\cos(x-y)=1 \;\Rightarrow\; x-y=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x+y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\\ x-y=2\pi n. \end{cases}$$

Складывая и вычитая уравнения, находим:

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k+2\pi n,\qquad 2y=\frac{\pi}{2}+\pi k-2\pi n.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k+\pi n,\qquad y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k-\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$

2) Из первого уравнения

$$\sin x-\sin y=1 \;\Rightarrow\; \sin x=1+\sin y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\sin^2 x+\cos^2 y=1$$

$$(1+\sin y)^2+\cos^2 y=1.$$

Раскроем скобки и используем тождество $$\sin^2 y+\cos^2 y=1$$:

$$1+2\sin y+\sin^2 y+\cos^2 y=1$$

$$1+2\sin y+1=1$$

$$2\sin y=-1,$$

то есть

$$\sin y=-\frac12.$$

Тогда

$$y=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из равенства $$\sin x=1+\sin y$$ получаем

$$\sin x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k-\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad y=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$