Упр.645 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) система
cos(x+y) =0,
cos(x-y)=1;
2) система
sinx — siny=1,
sin2x+cos2y=1.

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} \cos(x+y)=0,\\ \cos(x-y)=1. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Из второго уравнения:
$$x-y=2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$
Сложим и вычтем эти равенства:
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n+2\pi k, \qquad 2y=\frac{\pi}{2}+\pi n-2\pi k. $$
Тогда
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k, \qquad y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k. $$
Так как $n,k\in\mathbb Z$, можно записать ответ в виде
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k,\qquad y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z. $$
Решим систему
$$ \begin{cases} \sin x-\sin y=1,\\ \sin^2 x+\cos^2 y=1. \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$\sin^2 x=1-\cos^2 y=\sin^2 y,$$
значит,
$$\sin x=\pm \sin y.$$
Если бы было $$\sin x=-\sin y,$$ то из первого уравнения получили бы $$-2\sin y=1,$$ то есть $$\sin y=-\frac12,$$ а тогда $$\sin x=\frac12.$$ Но при этом $$\sin^2 x+\cos^2 y=\frac14+\frac34=1,$$ поэтому случай возможен. Однако удобнее рассмотреть уравнение
$$\sin x=1+\sin y.$$
Так как $$\sin x\le 1,$$ то должно быть $$\sin y\le 0.$$ Подставим в второе уравнение:
$$ (1+\sin y)^2+\cos^2 y=1. $$
Раскроем скобки и используем $$\cos^2 y=1-\sin^2 y$$:
$$ 1+2\sin y+\sin^2 y+1-\sin^2 y=1, $$
$$ 2\sin y+1=0, $$
$$ \sin y=-\frac12. $$
Тогда
$$ y=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Из первого уравнения:
$$ \sin x=1-\frac12=\frac12, $$
поэтому
$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$