Упр.644 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) |tgx| +1=1/cos^2x.

1. $$4|\cos x|+3=4\sin^2 x$$

   Используем формулу $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$4|\cos x|+3=4-4\cos^2 x$$

   $$4\cos^2 x+4|\cos x|-1=0$$

   Положим $$y=|\cos x|$$, тогда $$y\ge 0$$ и $$\cos^2 x=y^2$$. Получаем:

   $$4y^2+4y-1=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-1)=16+16=32$$

   $$y=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{8}=\frac{-4\pm 4\sqrt2}{8}=\frac{-1\pm\sqrt2}{2}$$

   С учётом условия $$y\ge 0$$ подходит только

   $$y=\frac{\sqrt2-1}{2}$$

   Значит,

   $$|\cos x|=\frac{\sqrt2-1}{2}$$

   то есть

   $$\cos x=\pm \frac{\sqrt2-1}{2}$$

   Тогда общее решение:

   $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   или, объединяя обе серии,

   $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2-1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$|\tg x|+1=\frac{1}{\cos^2 x}$$

   Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x$$, получаем:

   $$|\tg x|=\tg^2 x$$

   Положим $$t=\tg x$$. Тогда

   $$|t|=t^2$$

   Рассмотрим случаи:

   1) $$t\ge 0$$, тогда $$t=t^2$$, откуда

   $$t(t-1)=0$$

   $$t=0 \text{ или } t=1$$

   2) $$t<0$$, тогда $$-t=t^2$$, откуда

   $$t(t+1)=0$$

   $$t=-1$$

   Итак,

   $$\tg x=0,\ \tg x=1,\ \tg x=-1$$

   Следовательно,

   $$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Это можно записать короче:

   $$x=\pi n,\ \pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2-1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\pi n,\ \pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$