Упр.643 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sqrt{5\cos x-\cos 2x}=-2\sin x$$
- $$\sqrt{\cos x-\cos 3x}=-\sqrt{2}\cos x$$
1) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{5\cos x-\cos 2x}=-2\sin x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$-2\sin x\ge 0,$$ то есть $$\sin x\le 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5\cos x-\cos 2x=4\sin^2 x.$$
Используем формулы $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$5\cos x-(2\cos^2 x-1)=4(1-\cos^2 x),$$
$$5\cos x-2\cos^2 x+1=4-4\cos^2 x,$$
$$2\cos^2 x+5\cos x-3=0.$$
Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда
$$2y^2+5y-3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-3.$$
Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Остаётся $$\cos x=\frac12,$$ откуда
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим условие $$\sin x\le 0.$$
Для $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ имеем $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}>0,$$ поэтому эти корни не подходят.
Для $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ имеем $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\le 0,$$ значит, это решение подходит.
2) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{\cos x+\cos 3x}=-\sqrt2\cos x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-\sqrt2\cos x\ge 0,$$ значит $$\cos x\le 0.$$
Используем формулу $$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$ Тогда
$$\sqrt{2\cos 2x\cos x}=-\sqrt2\cos x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2\cos 2x\cos x=2\cos^2 x,$$
$$\cos 2x\cos x=\cos^2 x.$$
Подставим $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$\bigl(2\cos^2 x-1\bigr)\cos x=\cos^2 x,$$
$$2\cos^3 x-\cos x-\cos^2 x=0,$$
$$\cos x\,(2\cos^2 x-\cos x-1)=0.$$
Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда
$$y(2y^2-y-1)=0,$$
$$y(2y+1)(y-1)=0.$$
Отсюда
$$y=0,\quad y=-\frac12,\quad y=1.$$
С учётом условия $$\cos x\le 0$$ остаются только:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
и
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
