Упр.643 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (cosx-cos3x) = — корень 2cosx.

Подробный ответ

$$\sqrt{5\cos x-\cos 2x}=-2\sin x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-2\sin x\ge 0,$$ значит $$\sin x\le 0.$$
Возведём уравнение в квадрат:
$$ 5\cos x-\cos 2x=4\sin^2 x $$
$$ 5\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=4\sin^2 x $$
$$ 5\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x-4\sin^2 x=0 $$
$$ 5\cos x-\cos^2 x-3\sin^2 x=0 $$
$$ 5\cos x-\cos^2 x-3(1-\cos^2 x)=0 $$
$$ 2\cos^2 x+5\cos x-3=0. $$
Положим $$y=\cos x.$$ Тогда
$$ 2y^2+5y-3=0 $$
$$ D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}. $$
Получаем $$y_1=\frac12,$$ $$y_2=-3.$$ Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Значит, $$\cos x=\frac12,$$ откуда
$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Проверим условие $$\sin x\le 0.$$ Подходит только
$$ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
$$\sqrt{\cos x+\cos 3x}=-\sqrt2\cos x.$$
Используем формулу $$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$ Тогда
$$ \sqrt{2\cos 2x\cos x}=-\sqrt2\cos x. $$
Возведём в квадрат:
$$ 2\cos 2x\cos x=2\cos^2 x $$
$$ \cos 2x\cos x=\cos^2 x $$
$$ (\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x=\cos^2 x $$
$$ (\cos^2 x-(1-\cos^2 x))\cos x=\cos^2 x $$
$$ (2\cos^2 x-1)\cos x-\cos^2 x=0 $$
$$ \cos x\,(2\cos^2 x-\cos x-1)=0. $$
Положим $$y=\cos x.$$ Тогда
$$ y(2y^2-y-1)=0 $$
$$ y(2y+1)(y-1)=0. $$
Отсюда
$$ \cos x=0,\quad \cos x=-\frac12,\quad \cos x=1. $$
С учётом правой части уравнения $$-\sqrt2\cos x\ge 0,$$ то есть $$\cos x\le 0,$$ значение $$\cos x=1$$ не подходит.
Тогда
$$ \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z; $$
$$ \cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$