Упр.642 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) sin x cos 4x = -1.

Подробный ответ

$$\sin x \sin 5x = 1$$
Так как $$|\sin x| \le 1$$ и $$|\sin 5x| \le 1,$$ то равенство возможно только при
$$\sin x = \sin 5x = 1$$
или при
$$\sin x = \sin 5x = -1.$$
1) Если $$\sin x = 1,$$ то
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$5x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}.$$
Совместно с $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin x=-1,$$ то
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$5x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}.$$
Совместно с $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ получаем
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Итак, решения объединяются в одну серию:
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x \cos 4x = -1$$
Так как $$|\sin x| \le 1$$ и $$|\cos 4x| \le 1,$$ то равенство возможно только при
$$\sin x = 1,\ \cos 4x = -1$$
или при
$$\sin x = -1,\ \cos 4x = 1.$$
1) Если $$\sin x=1,$$ то
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
При этом
$$4x=2\pi+8\pi k,$$
а значение $$\cos 4x=-1$$ невозможно. Значит, этот случай решений не даёт.
2) Если $$\sin x=-1,$$ то
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$4x=-2\pi+8\pi k,$$
и действительно
$$\cos 4x=1.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$