Упр.641 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1$$
2. $$\sin x+\frac{1}{\sin x}=\sin 2x+\frac{1}{\sin 2x}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1.$$

Пусть

$$y=\frac{\cos 2x}{\cos x}.$$

Тогда

$$y+\frac{1}{y}=1,$$

откуда

$$y^2-y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Так как $$D<0,$$ действительных корней нет.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

2) Рассмотрим уравнение

$$\sin x+\frac{1}{\sin x}=\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Пусть

$$y=\sin x.$$

Тогда

$$y+\frac{1}{y}=y^2+\frac{1}{y^2}.$$

Умножим на $$y^2$$:

$$y^3+y=y^4+1,$$

$$y^4-y^3-y+1=0.$$

Сгруппируем:

$$y^3(y-1)-1\cdot (y-1)=0,$$

$$(y^3-1)(y-1)=0.$$

Отсюда

$$y=1.$$

Значит,

$$\sin x=1,$$

поэтому

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) Решений нет.

2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$