Упр.640 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin6x+cos6x=1/4.

1. $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x$$

   Перенесём всё в одну сторону и разложим разность квадратов:

   $$ (\cos^2 x-\cos^2 3x)+(\cos^2 2x-\cos^2 4x)=0 $$
   $$ (\cos x-\cos 3x)(\cos x+\cos 3x)+(\cos 2x-\cos 4x)(\cos 2x+\cos 4x)=0 $$

   Используем формулы преобразования суммы и разности косинусов:

   $$ -2\sin 2x\sin x\cdot 2\cos 2x\cos x-2\sin 3x\sin x\cdot 2\cos 3x\cos x=0 $$
   $$ \sin 2x\sin 4x+\sin 2x\sin 6x=0 $$
   $$ \sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0 $$
   $$ 2\sin 2x\sin 5x\cos x=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 $$

   Но решения $$\cos x=0$$ уже входят в серию $$\sin 2x=0$$ и $$\sin 5x=0$$ не дают новых корней в ответе, поэтому получаем:

   $$ \sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k,\ k\in\mathbb Z \Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} $$

   $$ \sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi k,\ k\in\mathbb Z \Rightarrow x=\frac{\pi k}{5} $$

2. $$\sin^6 x+\cos^6 x=\frac14$$

   Представим сумму кубов:

   $$ (\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3=(\sin^2 x+\cos^2 x)^3-3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x) $$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, то

   $$ 1-3\sin^2 x\cos^2 x=\frac14 $$
   $$ 3\sin^2 x\cos^2 x=\frac34 $$
   $$ \sin^2 x\cos^2 x=\frac14 $$

   Тогда

   $$ \sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x=1 $$
   $$ \sin 2x=\pm 1 $$

   Следовательно,

   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z $$
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi k}{5},\ k\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z$$