Упр.639 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin x\sin 2x\sin 3x=\sin x\cdot 2\sin x\cos x\cdot \sin 3x.$$

Используем формулу $$2\sin x\sin 3x=\cos 2x-\cos 4x,$$ тогда

$$\sin x\sin 2x\sin 3x=\sin x\cos x\cos 2x.$$

По формуле $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$ получаем

$$\frac12\sin 2x\cos 2x=\frac14\sin 4x.$$

Значит, уравнение равносильно

$$\frac14\sin 4x=\frac14\sin 4x,$$

то есть оно тождественно верно при всех $$x\in\mathbb Z.$$

Если же требуется решить уравнение, полученное после преобразований в учебнике, то из

$$\sin x\cos x\cos 4x=0$$

следует:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

Отсюда

$$x=\pi k,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем выражение:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Правая часть:

$$\frac12\sin^2 2x=\frac12\cdot 4\sin^2 x\cos^2 x=2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$1-2\sin^2 x\cos^2 x=2\sin^2 x\cos^2 x,$$

то есть

$$1=4\sin^2 x\cos^2 x.$$

Но $$4\sin^2 x\cos^2 x=\sin^2 2x,$$ значит

$$\sin^2 2x=1,$$

откуда

$$\sin 2x=\pm 1.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

и

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi k,\ \frac{\pi}{2}+\pi k,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}k,\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\ k\in\mathbb Z.$$