Упр.638 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) sin x (1 — cos x)2 + cos x (1 — sin x)2 = 2.
$$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x$$
Перенесём всё в одну сторону и разложим разность квадратов:
$$\sin^2 x-\sin^2 3x+\sin^2 2x=0$$
$$\left(\sin x-\sin 3x\right)\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin^2 2x=0$$
Используем формулы суммы и разности синусов:
$$2\sin\frac{x-3x}{2}\cos\frac{x+3x}{2}\cdot 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}+\sin^2 2x=0$$
$$-4\sin x\cos 2x\sin 2x\cos x+\sin^2 2x=0$$
$$-2\sin 2x\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$
$$\sin^2 2x\,(1-2\cos 2x)=0$$Отсюда:
$$\sin^2 2x=0 \quad \Rightarrow \quad \sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
$$1-2\cos 2x=0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x(1-\cos x)^2+\cos x(1-\sin x)^2=2$$
Раскроем скобки:
$$\sin x(1-2\cos x+\cos^2 x)+\cos x(1-2\sin x+\sin^2 x)=2$$
$$\sin x+\cos x-4\sin x\cos x+\sin x\cos^2 x+\cos x\sin^2 x=2$$
$$\sin x+\cos x+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)-4\sin x\cos x=2$$Обозначим $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда
$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}$$
и получаем:
$$y+y\cdot\frac{y^2-1}{2}-4\cdot\frac{y^2-1}{2}=2$$
$$y^3-4y^2+y=0$$
$$y(y^2-4y+1)=0$$Отсюда:
$$y=0,\quad y=2\pm\sqrt3.$$1) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tan x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin x+\cos x=2+\sqrt3.$$
Но $$\sin x+\cos x\le \sqrt2,$$ значит решений нет.3) $$\sin x+\cos x=2-\sqrt3.$$
Тогда
$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2-\sqrt3,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2}.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi n}{2},\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
