Упр.638 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x$$
2. $$\sin x(1-\cos x)^2+\cos x(1-\sin x)^2=2$$

1) $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим разность квадратов:

$$\sin^2 x-\sin^2 3x+\sin^2 2x=0$$

$$(\sin x-\sin 3x)(\sin x+\sin 3x)+\sin^2 2x=0$$

Используем формулы приведения:

$$2\sin\frac{x-3x}{2}\cos\frac{x+3x}{2}\cdot 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2}+\sin^2 2x=0$$

$$4\sin(-x)\cos 2x\cdot \sin 2x\cos(-x)+\sin^2 2x=0$$

$$-4\sin x\cos 2x\sin 2x\cos x+\sin^2 2x=0$$

$$-2\sin 2x\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$

$$\sin^2 2x\,(1-2\cos 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin^2 2x=0 \quad \text{или} \quad 1-2\cos 2x=0$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 2x=\frac12 \Rightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x(1-\cos x)^2+\cos x(1-\sin x)^2=2$$

Раскроем скобки:

$$\sin x(1-2\cos x+\cos^2 x)+\cos x(1-2\sin x+\sin^2 x)=2$$

$$\sin x+\cos x-4\sin x\cos x+\sin x\cos^2 x+\cos x\sin^2 x=2$$

$$\sin x+\cos x+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)-4\sin x\cos x=2$$

Положим $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда

$$\sin x\cos x=\frac{y^2-1}{2}$$

Подставим:

$$y+y\cdot \frac{y^2-1}{2}-4\cdot \frac{y^2-1}{2}=2$$

$$2y+y(y^2-1)-4(y^2-1)=4$$

$$y^3-4y^2+y=0$$

$$y(y^2-4y+1)=0$$

Отсюда:

$$y=0 \quad \text{или} \quad y^2-4y+1=0$$

$$y=2\pm \sqrt3$$

Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$, значение $$2+\sqrt3$$ не подходит. Остаются два случая:

1) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tan x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=2-\sqrt3$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2-\sqrt3$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2}$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$