Упр.637 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 6 cos 2x sin x + 7 sin 2x = 0.

1) Преобразуем левую часть, используя формулы суммы и разности синусов:

$$ 4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0 $$
$$ 4\sin 3x+\sin 5x+\sin(2x-x)-\sin(2x+x)=0 $$
$$ 4\sin 3x+\sin 5x+\sin x-\sin 3x=0 $$
$$ 3\sin 3x+\bigl(\sin 5x+\sin x\bigr)=0 $$
$$ 3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0 $$
$$ \sin 3x\,(3+2\cos 2x)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 3+2\cos 2x=0. $$

Если $$\sin 3x=0$$, то

$$ 3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
$$ x=\frac{\pi n}{3}. $$

Если $$3+2\cos 2x=0$$, то

$$ \cos 2x=-\frac32, $$

что невозможно, так как $$|\cos 2x|\le 1$$. Значит, этот случай решений не даёт.

2) Решим уравнение:

$$ 6\cos 2x\sin x+7\sin 2x=0 $$
$$ 6\cos 2x\sin x+14\sin x\cos x=0 $$
$$ 2\sin x\,(3\cos 2x+7\cos x)=0 $$

Следовательно,

$$ \sin x=0 $$
или
$$ 3\cos 2x+7\cos x=0. $$

1) Если $$\sin x=0$$, то

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Если $$3\cos 2x+7\cos x=0$$, то, подставив $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$, получаем:

$$ 3(2\cos^2 x-1)+7\cos x=0 $$
$$ 6\cos^2 x+7\cos x-3=0. $$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$ 6y^2+7y-3=0. $$

$$ D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121, $$
$$ y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}. $$

Получаем:

$$ y_1=\frac13,\qquad y_2=-\frac32. $$

Значение $$y_2=-\frac32$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$. Значит,

$$ \cos x=\frac13, $$
$$ x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$