Упр.637 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0$$
2. $$6\cos 2x\sin x+7\sin 2x=0$$

1) Преобразуем левую часть, используя формулы суммы и разности синусов:

$$4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0$$

$$4\sin 3x+\sin 5x+\sin(2x-x)-\sin(2x+x)=0$$

$$4\sin 3x+\sin 5x+\sin x-\sin 3x=0$$

$$3\sin 3x+\bigl(\sin 5x+\sin x\bigr)=0$$

$$3\sin 3x+2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2}=0$$

$$3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0$$

$$\sin 3x\,(3+2\cos 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 3+2\cos 2x=0$$

Во втором случае

$$\cos 2x=-\frac{3}{2}$$

что невозможно, так как $$-1\le \cos 2x\le 1$$. Значит, остаётся только

$$\sin 3x=0$$

$$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

2) Преобразуем уравнение:

$$6\cos 2x\sin x+7\sin 2x=0$$

$$6\cos 2x\sin x+14\sin x\cos x=0$$

$$2\sin x\,(3\cos 2x+7\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$3\cos 2x+7\cos x=0$$

Первый случай:

$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Второй случай. Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$3(2y^2-1)+7y=0$$

$$6y^2+7y-3=0$$

$$D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}$$

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=-\frac32$$

Так как $$\cos x\in[-1,1]$$, значение $$y=-\frac32$$ не подходит. Значит,

$$\cos x=\frac13$$

$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\pm \arccos\frac13+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$