Упр.634 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\cos^2 2x+3\sin 4x+4\sin^2 2x=0$$
2. $$1-\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
3. $$2\sin^2 x+\frac{1}{4}\cos^3 2x=1$$
4. $$\sin^2 2x+\cos^2 3x=1+4\sin x$$

1) $$2\cos^2 2x+3\sin 4x+4\sin^2 2x=0$$

Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$2\cos^2 2x+6\sin 2x\cos 2x+4\sin^2 2x=0.$$

Разделим на $$\cos^2 2x$$:

$$2+6\tg 2x+4\tg^2 2x=0.$$

Пусть $$y=\tg 2x$$. Тогда

$$4y^2+6y+2=0,$$

$$2y^2+3y+1=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1.$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=-\frac12.$$

Следовательно,

$$\tg 2x=-1 \quad \text{или} \quad \tg 2x=-\frac12.$$

Отсюда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=-\arctg\frac12+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Значит,

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$1-\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-\tg x+3=0.$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-y+3=0,$$

$$D=1-12=-11<0.$$

Следовательно, действительных решений нет.

3) $$2\sin^2 x+\frac14\cos^3 2x=1$$

Преобразуем:

$$2\sin^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)+\frac14\cos^3 2x=0,$$

$$-(\cos^2 x-\sin^2 x)+\frac14\cos^3 2x=0,$$

$$-\cos 2x+\frac14\cos^3 2x=0,$$

$$\cos 2x\left(\frac14\cos^2 2x-1\right)=0.$$

Отсюда либо

$$\cos 2x=0,$$

тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z,$$

либо

$$\frac14\cos^2 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos^2 2x=4,$$

что невозможно.

Итак,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin^2 2x+\cos^2 3x=1+4\sin x$$

Используем тождество $$\cos^2 3x=1-\sin^2 3x$$:

$$\sin^2 2x-\sin^2 3x=4\sin x.$$

Тогда

$$\bigl(\sin 2x+\sin 3x\bigr)\bigl(\sin 2x-\sin 3x\bigr)=4\sin x.$$

По формулам суммы и разности:

$$2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot 2\cos\frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=4\sin x,$$

$$-\sin 5x\sin x=4\sin x,$$

$$-\sin x(\sin 5x+4)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=-4.$$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$|\sin 5x|\le 1.$$

Значит,

$$x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2}$$; 2) решений нет; 3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; 4) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$