Упр.633 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1 + cos2x = sin4x.

1) Преобразуем левую часть уравнения:

$$8\sin x\cos x\cos 2x=4\sin 2x\cos 2x=2\sin 4x.$$

Тогда получаем:

$$2\sin 4x=1,$$

откуда

$$\sin 4x=\frac12.$$

Решаем это уравнение:

$$4x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$1+\cos^2 x=\sin^4 x,$$

$$1-\sin^4 x+\cos^2 x=0,$$

$$\left(1-\sin^2 x\right)\left(1+\sin^2 x\right)+\cos^2 x=0,$$

$$\cos^2 x\left(1+\sin^2 x\right)+\cos^2 x=0,$$

$$\cos^2 x\left(\sin^2 x+2\right)=0.$$

Так как $$\sin^2 x+2>0,$$ то

$$\cos^2 x=0,$$

значит

$$\cos x=0.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^k\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$