Упр.632 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) корень 2 cos(x-пи/4) = (sinx+cosx)2.
Решение
$$1-\cos(\pi-x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=0$$
Используем формулы:
$$\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}.$$Тогда
$$ 1+\cos x+\cos\frac{x}{2}=0. $$
Положим $$t=\cos\frac{x}{2}.$$ Тогда
$$ \cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1=2t^2-1. $$
Получаем
$$ 1+(2t^2-1)+t=0 $$
$$ 2t^2+t=0 $$
$$ t(2t+1)=0. $$1) $$\cos\frac{x}{2}=0,$$ откуда
$$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
значит
$$ x=\pi+2\pi n. $$2) $$2\cos\frac{x}{2}+1=0,$$ то есть
$$ \cos\frac{x}{2}=-\frac12. $$
Тогда
$$ \frac{x}{2}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
значит
$$ x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n. $$$$\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=(\sin x+\cos x)^2$$
Раскроем левую часть:
$$ \sqrt2\left(\cos x\cos\frac{\pi}{4}+\sin x\sin\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt2\left(\frac{\cos x}{\sqrt2}+\frac{\sin x}{\sqrt2}\right) =\sin x+\cos x. $$
Тогда уравнение принимает вид
$$ \sin x+\cos x=(\sin x+\cos x)^2. $$Обозначим $$u=\sin x+\cos x.$$ Тогда
$$ u=u^2 $$
$$ u(u-1)=0. $$
Следовательно,
$$ \sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=1. $$1) $$\sin x+\cos x=0,$$ тогда
$$ \tan x=-1, $$
откуда
$$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$2) $$\sin x+\cos x=1.$$ Представим сумму в виде:
$$ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1, $$
значит
$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt2}. $$
Тогда
$$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, $$
откуда
$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Ответ
1) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ 2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
