Упр.631 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2=0$$
2. $$\sin 2x+3=3\sin x+3\cos x$$
3. $$\sin 2x+4(\sin x+\cos x)+4=0$$
4. $$\sin 2x+5(\cos x+\sin x+1)=0$$

1) $$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2=0$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и сгруппируем:

$$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2(\sin x+\cos x)^2-4\sin x\cos x=0$$

$$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2(\sin x+\cos x)^2-2\sin 2x=0$$

$$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)\bigl(2\sin x+2\cos x-3\bigr)=0$$

Отсюда:

$$\sin x+\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad \tan x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;$$

$$2\sin x+2\cos x-3=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x+\cos x=\frac32.$$

Но $$\sin x+\cos x\le \sqrt2,$$ значит, второе уравнение решений не имеет.

2) $$\sin 2x+3=3\sin x+3\cos x$$

Преобразуем:

$$\sin 2x+1+2=3(\sin x+\cos x)$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+\sin 2x+2-3(\sin x+\cos x)=0$$

$$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^2-3(\sin x+\cos x)+2=0$$

Пусть $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2-3y+2=0,$$

$$y_1=1,\quad y_2=2.$$

1) $$\sin x+\cos x=1$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=2$$

Решений нет, так как $$\sin x+\cos x\le \sqrt2<2.$$

3) $$\sin 2x+4(\sin x+\cos x)+4=0$$

Преобразуем:

$$\sin 2x+1+4(\sin x+\cos x)+3=0$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+\sin 2x+4(\sin x+\cos x)+3=0$$

$$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^2+4(\sin x+\cos x)+3=0.$$

Пусть $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2+4y+3=0,$$

$$y_1=-1,\quad y_2=-3.$$

1) $$\sin x+\cos x=-1$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

то есть

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=-3$$

Решений нет, так как $$\sin x+\cos x\ge -\sqrt2>-3.$$

4) $$\sin 2x+5(\cos x+\sin x+1)=0$$

Преобразуем:

$$\sin 2x+1+5(\cos x+\sin x)+4=0$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+\sin 2x+5(\sin x+\cos x)+4=0$$

$$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^2+5(\sin x+\cos x)+4=0.$$

Пусть $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$y^2+5y+4=0,$$

$$y_1=-1,\quad y_2=-4.$$

1) $$\sin x+\cos x=-1$$

Получаем уже найденные решения:

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=-4$$

Решений нет, так как $$\sin x+\cos x\ge -\sqrt2>-4.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$