Упр.631 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3) sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4) sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0.

1. $$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2=0$$

   Используем $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

   $$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$2\sin 2x-3(\sin x+\cos x)+2(\sin x+\cos x)^2-2\sin 2x=0$$

   $$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)\bigl(2\sin x+2\cos x-3\bigr)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x+\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad \tan x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

   $$2\sin x+2\cos x-3=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x+\cos x=\frac32.$$

   Но $$\sin x+\cos x\le \sqrt2,$$ значит, решений нет.

2. $$\sin 2x+3=3\sin x+3\cos x$$

   Преобразуем:

   $$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x+3=3(\sin x+\cos x)$$

   $$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^2+2=3(\sin x+\cos x)$$

   Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда:

   $$y^2-3y+2=0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$

   $$y=1 \quad \text{или} \quad y=2$$

   1) $$\sin x+\cos x=1$$

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   2) $$\sin x+\cos x=2$$

   Но $$\sin x+\cos x\le \sqrt2,$$ значит, решений нет.

3. $$\sin 2x+4(\sin x+\cos x)+4=0$$

   Преобразуем:

   $$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x+4(\sin x+\cos x)+3=0$$

   $$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^2+4(\sin x+\cos x)+3=0$$

   Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда:

   $$y^2+4y+3=0$$

   $$\left(y+1\right)\left(y+3\right)=0$$

   $$y=-1 \quad \text{или} \quad y=-3$$

   1) $$\sin x+\cos x=-1$$

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n$$

   2) $$\sin x+\cos x=-3$$

   Но $$\sin x+\cos x\ge -\sqrt2,$$ значит, решений нет.

4. $$\sin 2x+5(\cos x+\sin x+1)=0$$

   Преобразуем:

   $$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x+5(\sin x+\cos x)+4=0$$

   $$\bigl(\sin x+\cos x\bigr)^2+5(\sin x+\cos x)+4=0$$

   Пусть $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда:

   $$y^2+5y+4=0$$

   $$\left(y+1\right)\left(y+4\right)=0$$

   $$y=-1 \quad \text{или} \quad y=-4$$

   1) $$\sin x+\cos x=-1$$

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n$$

   2) $$\sin x+\cos x=-4$$

   Но $$\sin x+\cos x\ge -\sqrt2,$$ значит, решений нет.

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=2\pi n,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$