Упр.630 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin^2 x=1+\frac{1}{3}\sin 4x$$
2. $$2\cos^2 2x-1=\sin 4x$$
3. $$2\cos^2 2x+3\cos^2 x=2$$
4. $$(\sin x+\cos x)^2=1+\cos x$$

1) $$2\sin^2 x=1+\frac13\sin4x$$

Преобразуем уравнение:

$$1-\cos2x=1+\frac23\sin2x\cos2x$$

$$-\cos2x-\frac23\sin2x\cos2x=0$$

$$\cos2x\left(\frac23\sin2x+1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos2x=0$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$\frac23\sin2x+1=0$$

$$\sin2x=-\frac32$$

Таких решений нет.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos^2 2x-1=\sin4x$$

Используем формулу $$2\cos^2 2x-1=\cos4x$$:

$$\cos4x=\sin4x$$

$$\cos4x-\sin4x=0$$

Разделим на $$\cos4x$$:

$$1-\tg4x=0$$

$$\tg4x=1$$

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$2\cos^2 2x+3\cos^2 x=2$$

Положим $$y=\cos2x$$. Тогда $$\cos^2 x=\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{1+y}{2}$$, и получаем:

$$2y^2+\frac32(1+y)=2$$

$$4y^2+3y-1=0$$

$$D=3^2-4\cdot4\cdot(-1)=25$$

$$y_1=\frac{-3-5}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{-3+5}{8}=\frac14$$

1) $$\cos2x=-1$$

$$2x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos2x=\frac14$$

$$2x=\pm\arccos\frac14+2\pi n$$

$$x=\pm\frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm\frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$(\sin x+\cos x)^2=1+\cos x$$

Раскроем скобки:

$$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\cos x$$

$$1+2\sin x\cos x=1+\cos x$$

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$2\sin x-1=0$$

$$\sin x=\frac12$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$