Упр.630 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) 2cos2 2x -1=sin4x;
3) 2cos2 2x + 3cos2x=2;
4) (sinx+cosx)2= 1+cosx.
$$2\sin^2 x=1+\frac13\sin 4x$$
Используем формулы $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$ и $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
$$ 1-\cos 2x=1+\frac13\cdot 2\sin 2x\cos 2x $$
$$ \cos 2x\left(\frac23\sin 2x+1\right)=0 $$Тогда:
$$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \frac23\sin 2x+1=0 $$
Во втором случае получаем $$\sin 2x=-\frac32$$, что невозможно. Значит,
$$ \cos 2x=0 $$
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$$$2\cos^2 2x-1=\sin 4x$$
Так как $$2\cos^2 2x-1=\cos 4x$$, получаем:
$$ \cos 4x=\sin 4x $$
$$ \cos 4x-\sin 4x=0 $$Делим на $$\cos 4x$$:
$$ 1-\tg 4x=0 $$
$$ \tg 4x=1 $$
$$ 4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z $$$$2\cos^2 2x+3\cos^2 x=2$$
Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:
$$ 2\cos^2 2x+\frac32(1+\cos 2x)=2 $$
$$ 4\cos^2 2x+3\cos 2x-1=0 $$Обозначим $$y=\cos 2x$$. Тогда:
$$ 4y^2+3y-1=0 $$
$$ D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=25 $$
$$ y_1=\frac{-3-5}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{-3+5}{8}=\frac14 $$1) Если $$\cos 2x=-1$$, то
$$ 2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$2) Если $$\cos 2x=\frac14$$, то
$$ 2x=\pm \arccos\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$$$(\sin x+\cos x)^2=1+\cos x$$
Раскроем скобки:
$$ \sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\cos x $$
$$ 1+2\sin x\cos x=1+\cos x $$
$$ \cos x(2\sin x-1)=0 $$Тогда:
$$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0 $$
1) $$\cos x=0$$, значит
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
2) $$\sin x=\frac12$$, значит
$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
Ответ
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
