Упр.628 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(\tan x-\sqrt{3}\right)\left(\frac{2\sin x}{12}+1\right)=0$$
2. $$\left(1-\frac{\sqrt{2}\cos x}{4}\right)\left(1+\sqrt{3}\tan x\right)=0$$
3. $$\left(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)\left(2\tan x+1\right)=0$$
4. $$\left(1+\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\tan x-3\right)=0$$

1) $$\left(\tg x-\sqrt3\right)\left(2\sin\frac{x}{12}+1\right)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\tg x-\sqrt3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin\frac{x}{12}+1=0.$$

1) $$\tg x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin\frac{x}{12}+1=0 \Rightarrow \sin\frac{x}{12}=-\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{12}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}2\pi+12\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; (-1)^{n+1}2\pi+12\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(1-\sqrt2\cos\frac{x}{4}\right)\left(1+\sqrt3\,\tg x\right)=0$$

Отсюда

$$1-\sqrt2\cos\frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad 1+\sqrt3\,\tg x=0.$$

1) $$\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=\pm\pi+8\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

$$x=\pm\pi+8\pi n,\; -\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$\left(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)\left(2\tg x+1\right)=0$$

Следовательно,

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1=0 \quad \text{или} \quad 2\tg x+1=0.$$

1) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\tg x+1=0 \Rightarrow \tg x=-\frac12 \Rightarrow x=-\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

$$x=2\pi n,\; \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; -\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$\left(1+\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\tg x-3\right)=0$$

Имеем

$$1+\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \tg x-3=0.$$

1) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Но при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ тангенс не определён, поэтому этот корень не подходит.

2) $$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

$$x=\pi+2\pi n,\; \arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$