Упр.627 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) sin 7x — sin x = cos 4x;
3) cos x + cos3x = 4 cos 2x;
4) sin2 x — cos2 x = cos 4x.

Подробный ответ

$$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
Тогда
$$-2\sin 4x\cdot \sin(-x)=\sin 4x$$
$$2\sin 4x\sin x-\sin 4x=0$$
$$\sin 4x\,(2\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0$$
1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}$$
2) $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$\sin 7x-\sin x=\cos 4x$$
Используем формулу разности синусов:
$$\sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$$
Тогда
$$2\sin 3x\cos 4x=\cos 4x$$
$$\cos 4x\,(2\sin 3x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 3x-1=0$$
1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$
2) $$\sin 3x=\frac12 \Rightarrow 3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$
$$\cos x+\cos 3x=4\cos 2x$$
Используем формулу суммы косинусов:
$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
Тогда
$$2\cos 2x\cos x=4\cos 2x$$
$$2\cos 2x(\cos x-2)=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=2$$
Так как $$\cos x=2$$ решений не имеет, получаем
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x=\cos 4x$$
Преобразуем левую часть:
$$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x$$
Тогда
$$\cos 4x+\cos 2x=0$$
Используем формулу суммы косинусов:
$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
Получаем
$$2\cos 3x\cos x=0$$
Отсюда:
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$
1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$