Упр.627 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$
2. $$\sin 7x-\sin x=\cos 4x$$
3. $$\cos x+\cos 3x=4\cos 2x$$
4. $$\sin^2 x-\cos^2 x=\cos 4x$$

1) $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$

Тогда

$$-2\sin 4x\cdot \sin(-x)=\sin 4x$$

$$2\sin 4x\cdot \sin x-\sin 4x=0$$

$$\sin 4x\,(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0$$

1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}$$

2) $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{4};\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 7x-\sin x=\cos 4x$$

Применим формулу разности синусов:

$$\sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$$

Получаем

$$2\sin 3x\cdot \cos 4x=\cos 4x$$

$$\cos 4x\,(2\sin 3x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 3x-1=0$$

1) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

2) $$2\sin 3x-1=0 \Rightarrow \sin 3x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4};\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos x+\cos 3x=4\cos 2x$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

Тогда

$$2\cos 2x\cdot \cos(-x)=4\cos 2x$$

$$2\cos 2x\cdot \cos x-4\cos 2x=0$$

$$2\cos 2x\,(\cos x-2)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=2$$

Уравнение $$\cos x=2$$ решений не имеет, поэтому

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin^2 x-\cos^2 x=\cos 4x$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x$$

Тогда

$$\cos 4x+\cos 2x=0$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

Получаем

$$2\cos 3x\cdot \cos x=0$$

Отсюда:

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3};\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$