Упр.626 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x=\cos 3x$$
2. $$\sin 5x=\sin x$$
3. $$\sin 2x=\cos 3x$$
4. $$\sin x+\cos 3x=0$$

1) $$\cos x=\cos 3x$$

$$\cos 3x-\cos x=0$$
$$-2\sin\frac{3x+x}{2}\cdot \sin\frac{3x-x}{2}=0$$
$$-2\sin 2x\cdot \sin x=0$$
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$
$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
$$x=\pi n$$
Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, то
$$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 5x=\sin x$$

$$\sin 5x-\sin x=0$$
$$2\sin\frac{5x-x}{2}\cdot \cos\frac{5x+x}{2}=0$$
$$2\sin 2x\cdot \cos 3x=0$$
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$
$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

3) $$\sin 2x=\cos 3x$$

$$\cos 3x-\sin 2x=0$$
$$\cos 3x-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
$$-2\sin\frac{3x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}\cdot \sin\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
$$-2\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cdot \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$

4) $$\sin x+\cos 3x=0$$

$$\cos 3x+\sin x=0$$
$$\cos 3x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$$
$$2\cos\frac{3x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\cdot \cos\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}=0$$
$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$x=\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$ или $$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$.