Упр.626 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) sin 5x = sin x;
3) sin 2x = cos3x;
4) sin x + cos3x = 0.

Подробный ответ

$$\cos x=\cos 3x$$
$$\cos x-\cos 3x=0$$
$$-2\sin\frac{x+3x}{2}\cdot\sin\frac{x-3x}{2}=0$$
$$2\sin 2x\cdot\sin x=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$
$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
$$x=\pi n$$
Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, то
$$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$
$$\sin 5x=\sin x$$
$$\sin 5x-\sin x=0$$
$$2\sin\frac{5x-x}{2}\cdot\cos\frac{5x+x}{2}=0$$
$$2\sin 2x\cdot\cos 3x=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$
$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$
$$\sin 2x=\cos 3x$$
$$\cos 3x-\sin 2x=0$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)-\sin 2x=0$$
$$2\sin\frac{\frac{\pi}{2}+3x-2x}{2}\cdot\cos\frac{\frac{\pi}{2}+3x+2x}{2}=0$$
$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{5x}{2}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{5x}{2}\right)=0$$
$$\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
$$\frac{\pi}{4}+\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$
$$\sin x+\cos 3x=0$$
$$\cos 3x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$$
$$2\cos\frac{3x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\cdot\cos\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}=0$$
$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$