Упр.625 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x-\cos x=1$$
2. $$\sin x+\cos x=1$$
3. $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$$
4. $$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}$$

1) $$\sin x-\cos x=1$$

Разделим обе части на $$\sqrt2$$:

$$\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$\sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$

По формуле разности синусов:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Следовательно,

$$x=\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=1$$

Разделим обе части на $$\sqrt2$$:

$$\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$\sin x\cos \frac{\pi}{4}+\cos x\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Следовательно,

$$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3) $$\sqrt3\sin x+\cos x=2$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=1$$

Заметим, что

$$\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6},\qquad \frac12=\sin\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}=1$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1$$

Следовательно,

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt2$$

Разделим обе части на $$\sqrt2$$:

$$\sin 3x\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\cos 3x\cdot \frac{\sqrt2}{2}=1$$

Тогда

$$\sin 3x\cos\frac{\pi}{4}+\cos 3x\sin\frac{\pi}{4}=1$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

Следовательно,

$$3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi k,\ \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

2) $$x=2\pi k,\ \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

3) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z$$