Упр.623 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$
- $$3+\sin 2x=4\sin^2 x$$
- $$\cos 2x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$
- $$3\cos 2x+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
1) $$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$
$$1+7\cos^2 x=6\sin x\cos x$$
$$\sin^2 x+8\cos^2 x-6\sin x\cos x=0$$
Разделим обе части на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+8-6\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-6y+8=0$$
$$D=36-32=4$$
$$y_1=2,\quad y_2=4$$
Следовательно,
$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=4$$
$$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$3+\sin 2x=4\sin^2 x$$
$$3(\cos^2 x+\sin^2 x)+2\sin x\cos x=4\sin^2 x$$
$$3\cos^2 x- \sin^2 x+2\sin x\cos x=0$$
Разделим обе части на $$\cos^2 x$$:
$$3-\tg^2 x+2\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_1=-1,\quad y_2=3$$
Значит,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$\cos 2x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$
Разделим обе части на $$\cos^2 x$$:
$$2-\tg^2 x+\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-y-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=-1,\quad y_2=2$$
Следовательно,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=2$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$3\cos 2x+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
$$3(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
$$3\cos^2 x-2\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
Разделим обе части на $$\cos^2 x$$:
$$3-2\tg^2 x+5\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2-5y-3=0$$
$$D=25+24=49$$
$$y_1=-\frac12,\quad y_2=3$$
Значит,
$$\tg x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$
$$x=-\arctg \frac12+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\arctg 2+\pi n,\ \arctg 4+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=-\arctg \frac12+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
