Упр.623 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 3 + sin 2x = 4 sin2 x;
3) cos 2x + cos2 дг + sin x cos x = 0;
4) 3 cos 2x + sin2 x + 5 sin x cos x = 0.

1. $$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$

   $$1+7\cos^2 x=6\sin x\cos x$$

   $$\sin^2 x+8\cos^2 x-6\sin x\cos x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-6\tg x+8=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-6y+8=0$$
   $$\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0$$

   $$y_1=2,\quad y_2=4$$

   Значит,
   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=4$$

   $$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2. $$3+\sin 2x=4\sin^2 x$$

   $$3\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right)+2\sin x\cos x=4\sin^2 x$$

   $$3\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$3-\tg^2 x+2\tg x=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-2y-3=0$$
   $$\left(y-3\right)\left(y+1\right)=0$$

   $$y_1=3,\quad y_2=-1$$

   Значит,
   $$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

   $$x=\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3. $$\cos 2x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$

   $$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$

   $$2\cos^2 x-\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$2-\tg^2 x+\tg x=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-y-2=0$$
   $$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$

   $$y_1=2,\quad y_2=-1$$

   Значит,
   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

   $$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

4. $$3\cos 2x+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

   $$3\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

   $$3\cos^2 x-2\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$3-2\tg^2 x+5\tg x=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$2y^2-5y-3=0$$
   $$\left(2y+1\right)\left(y-3\right)=0$$

   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=3$$

   Значит,
   $$\tg x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$

   $$x=-\arctg \frac12+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=-\arctg \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$