Упр.622 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) tg x = ctg x;
3) tg2 x-3tgx-4 = 0;
4) tg2 x — tg x + 1 = 0.

1. $$\tg^2 x=2$$

   Тогда

   $$\tg x=\pm \sqrt{2}.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\tg x=\ctg x$$

   Так как $$\ctg x=\dfrac{1}{\tg x},$$ то

   $$\tg^2 x=1.$$

   Отсюда

   $$\tg x=\pm 1,$$

   значит,

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

3. $$\tg^2 x-3\tg x-4=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда получаем квадратное уравнение

   $$y^2-3y-4=0.$$

   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.$$

   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2},$$

   откуда

   $$y_1=-1,\quad y_2=4.$$

   Значит,

   $$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

   или

   $$x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$\tg^2 x-\tg x+1=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-y+1=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0.$$

   Следовательно, действительных корней нет, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ

1) $$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; 2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; 3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$ или $$x=\arctg 4+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; 4) решений нет.