Упр.622 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\tg^2 x=2$$

Тогда

$$\tg x=\pm\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$x=\pm\arctg\sqrt{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$\tg x=\ctg x$$

Так как $$\ctg x=\dfrac{1}{\tg x},$$ получаем

$$\tg^2 x=1.$$

Отсюда

$$\tg x=\pm 1,$$

значит,

$$x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$\tg^2 x-3\tg x-4=0$$

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-3y-4=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(y+1\right)\left(y-4\right)=0.$$

Отсюда $$y=-1$$ или $$y=4$$, то есть

$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

$$\tg^2 x-\tg x+1=0$$

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^2-y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0.$$

Значит, действительных корней нет, поэтому исходное уравнение решений не имеет.