Упр.621 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) 3 cos2 x — sin x — 1 = 0;
3) 4 sin2 x — cos x — 1 = 0;
4) 2 sin2 x + 3 cos x = 0.

Подробный ответ

$$2\cos^2 x-\sin x+1=0$$
Используем тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$2(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0$$
$$2\sin^2 x+\sin x-3=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-3=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}$$
$$y_1=-\frac32,\quad y_2=1$$
Значение $$\sin x=-\frac32$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$.
Остаётся:
$$\sin x=1$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3\cos^2 x-\sin x-1=0$$
Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$3(1-\sin^2 x)-\sin x-1=0$$
$$3\sin^2 x+\sin x-2=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$3y^2+y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac23$$
Тогда
$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\sin x=\frac23 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$4\sin^2 x-\cos x-1=0$$
Используем тождество $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$4(1-\cos^2 x)-\cos x-1=0$$
$$4\cos^2 x+\cos x-3=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$4y^2+y-3=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac34$$
Следовательно,
$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\cos x=\frac34 \Rightarrow x=\pm \arccos\frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\sin^2 x+3\cos x=0$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$y_1=-\frac12,\quad y_2=2$$
Значение $$\cos x=2$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$.
Остаётся:
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$