Упр.621 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 21. а) $$2\cos^2 x-\sin x+1=0$$; б) $$3\cos^2 x-\sin x-1=0$$; в) $$4\sin^2 x-\cos x-1=0$$; г) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$.
1) $$2\cos^2 x-\sin x+1=0$$
$$2(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0$$
$$2\sin^2 x+\sin x-3=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-3=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-1+5}{4}=1$$
Значение $$\sin x=-\frac32$$ невозможно, а при $$\sin x=1$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$3\cos^2 x-\sin x-1=0$$
$$3(1-\sin^2 x)-\sin x-1=0$$
$$3\sin^2 x+\sin x-2=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$3y^2+y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac23$$
Если $$\sin x=-1$$, то
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Если $$\sin x=\frac23$$, то
$$x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$4\sin^2 x-\cos x-1=0$$
$$4(1-\cos^2 x)-\cos x-1=0$$
$$4\cos^2 x+\cos x-3=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$4y^2+y-3=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac34$$
Если $$\cos x=-1$$, то
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Если $$\cos x=\frac34$$, то
$$x=\pm\arccos\frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=2$$
Значение $$\cos x=2$$ невозможно, а при $$\cos x=-\frac12$$ получаем
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm\arccos\frac34+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
