Упр.620 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

620. 1)sin2x = 1/4;
2) cos2x=1/2;
3) 2xin2x + sinx-1=0;
4) 2cos2x+cos-6=0.

1. $$\sin^2 x=\frac14$$

   $$\sin x=\pm \frac12$$

   $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Ответ: $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

2. $$\cos^2 x=\frac12$$

   $$\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt2}$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
   или
   $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Объединяя корни, получаем:
   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb Z.$$

   Ответ: $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb Z.$$

3. $$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$

   Сделаем замену $$y=\sin x$$. Тогда

   $$2y^2+y-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12$$

   1) $$\sin x=-1$$, тогда
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

   2) $$\sin x=\frac12$$, тогда
   $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

   Ответ: $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

4. $$2\cos^2 x+\cos x-6=0$$

   Сделаем замену $$y=\cos x$$. Тогда

   $$2y^2+y-6=0$$

   $$D=1+48=49$$

   $$y_1=\frac{-1-7}{4}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+7}{4}=\frac32$$

   Оба корня не подходят, так как $$|\cos x|\le 1$$.

   Ответ: решений нет.