Упр.617 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6}\right)$$; 2) $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}\right)$$; 3) $$\operatorname{arctg}\left(2\sin\frac{5\pi}{6}\right)$$; 4) $$\operatorname{arctg}\left(2\sin\frac{\pi}{3}\right)$$.

Используем определение арктангенса: $$\arctg a=\alpha,\ \text{если}\ \tg \alpha=a\ \text{и}\ -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$

1. $$\arctg\left(\ctg \frac{5\pi}{6}\right)=\arctg\left(\tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{6}\right)\right)=\arctg\left(\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)=-\frac{\pi}{3}.$$

2. $$\arctg\left(\ctg \frac{3\pi}{4}\right)=\arctg\left(\tg\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{4}\right)\right)=\arctg\left(\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)=-\frac{\pi}{4}.$$

3. $$\arctg\left(2\sin \frac{5\pi}{6}\right)=\arctg\left(2\cdot \frac12\right)=\arctg 1=\frac{\pi}{4}.$$

4. $$\arctg\left(2\sin \frac{\pi}{3}\right)=\arctg\left(2\cdot \frac{\sqrt3}{2}\right)=\arctg \sqrt3=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{3};\ -\frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{4};\ \frac{\pi}{3}.$$