Упр.616 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 3arctg(tg пи/7);
2) 4arctg(tg 0,5);
3) arctg(tg 7пи/8);
4) arctg(tg 13).

По определению арктангенса число $$\arctg a$$ — это такое $$x$$, что $$\tg x=a$$ и $$-\frac{\pi}{2}

Значит, если $$-\frac{\pi}{2}

$$\arctg(\tg a)=a.$$

Вычислим значения:

1. $$3\arctg\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)=3\cdot\frac{\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}.$$

2. $$4\arctg(\tg 0{,}5)=4\cdot 0{,}5=2.$$

3. Так как $$\frac{7\pi}{8}=\pi-\frac{\pi}{8},$$ а $$\tg\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)=\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right),$$ то

   $$\arctg\left(\tg\frac{7\pi}{8}\right)=\arctg\left(\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)=-\frac{\pi}{8}.$$

4. Число $$13$$ приводим к промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ с помощью периода тангенса $$\pi$$:

   $$13-4\pi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$

   поэтому

   $$\arctg(\tg 13)=\arctg\bigl(\tg(13-4\pi)\bigr)=13-4\pi.$$

Ответ

$$\frac{3\pi}{7};\ 2;\ -\frac{\pi}{8};\ 13-4\pi.$$