Упр.616 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} a)=a$$ при $$-\frac{\pi}{2}
2. Вычислить:
   1) $$3\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right)$$;
   2) $$4\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0{,}5)$$;
   3) $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right)$$;
   4) $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13)$$.

По определению арктангенса, если $$\arctg a=x,$$ то $$\tg x=a$$ и $$-\frac{\pi}{2}

Значит, для любого $$a$$ из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ выполняется

$$\arctg(\tg a)=a.$$

Теперь вычислим значения.

1. $$3\arctg\left(\tg\frac{\pi}{7}\right)=3\cdot\frac{\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}.$$

2. $$4\arctg(\tg 0{,}5)=4\cdot 0{,}5=2.$$

3. Так как $$\frac{7\pi}{8}=\pi-\frac{\pi}{8},$$ то

   $$\tg\frac{7\pi}{8}=\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right),$$

   а число $$-\frac{\pi}{8}$$ лежит в промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$ Поэтому

   $$\arctg\left(\tg\frac{7\pi}{8}\right)=\arctg\left(\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)=-\frac{\pi}{8}.$$

4. Так как $$13=4\pi+(13-4\pi),$$ а $$13-4\pi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то

   $$\arctg(\tg 13)=\arctg\bigl(\tg(13-4\pi)\bigr)=13-4\pi.$$

Ответ: $$\frac{3\pi}{7};\ 2;\ -\frac{\pi}{8};\ 13-4\pi.$$