Упр.612 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$(\operatorname{tg}x-1)(\operatorname{tg}x+\sqrt{3})=0$$
2. $$\left(\sqrt{3}\operatorname{tg}x+1\right)(\operatorname{tg}x-\sqrt{3})=0$$
3. $$(\operatorname{tg}x-2)(2\cos-1)=0$$
4. $$(\operatorname{tg}x-4{,}5)(1+2\sin x)=0$$
5. $$(\operatorname{tg}x+4)\left(\frac{\operatorname{tg}x}{2}-1\right)=0$$
6. $$\left(\frac{\operatorname{tg}x}{6}+1\right)(\operatorname{tg}x-1)=0$$

(1) $$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+\sqrt3\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x-1=0 \quad \text{или} \quad \tg x+\sqrt3=0.$$

Тогда

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\arctg 1+\pi n=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=\arctg(-\sqrt3)+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

(2) $$\left(\sqrt3\,\tg x+1\right)\left(\tg x-\sqrt3\right)=0$$

Отсюда:

$$\sqrt3\,\tg x+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-\sqrt3=0.$$

Тогда

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\tg x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

(3) $$\left(\tg x-2\right)\left(2\cos x-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x-2=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

Тогда

$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,$$

$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Ответ: $$x=\arctg 2+\pi n,\; \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

(4) $$\left(\tg x-4{,}5\right)\left(1+2\sin x\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x-4{,}5=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin x=0.$$

Тогда

$$\tg x=4{,}5 \Rightarrow x=\arctg 4{,}5+\pi n,$$

$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Ответ: $$x=\arctg 4{,}5+\pi n,\; (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

(5) $$\left(\tg x+4\right)\left(\tg\frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg x+4=0 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}-1=0.$$

Тогда

$$\tg x=-4 \Rightarrow x=-\arctg 4+\pi n,$$

$$\tg\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Но $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ не подходит, так как при этих значениях не существует $$\tg x.$$

Ответ: $$x=-\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

(6) $$\left(\tg\frac{x}{6}+1\right)\left(\tg x-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg\frac{x}{6}+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-1=0.$$

Тогда

$$\tg\frac{x}{6}=-1 \Rightarrow \frac{x}{6}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,$$

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Значения $$x=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n$$ не подходят, так как при них не существует $$\tg\frac{x}{6}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$