Упр.612 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (корень 3 tgx + 1)(tgx — корень 3)=0;
3) (tgx-2)(2cos-1)=0;
4) (tgx-4,5)(1+2sinx)=0;
5) (tgx+4)(tgx/2-1)=0;
6) (tgx/6+1)(tgx-1)=0.

1. $$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+\sqrt3\right)=0$$
   
   Тогда
   $$\tg x-1=0 \quad \text{или} \quad \tg x+\sqrt3=0.$$
   
   Отсюда
   $$\tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   $$\tg x=-\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$
2. $$\left(\sqrt3\,\tg x+1\right)\left(\tg x-\sqrt3\right)=0$$
   
   Тогда
   $$\sqrt3\,\tg x+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-\sqrt3=0.$$
   
   Отсюда
   $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3} \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
   $$\tg x=\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$
3. $$\left(\tg x-2\right)\left(2\cos x-1\right)=0$$
   
   Тогда
   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$
   
   Отсюда
   $$\tg x=2 \quad \Rightarrow \quad x=\arctg 2+\pi n,$$
   $$\cos x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$
4. $$\left(\tg x-4{,}5\right)\left(1+2\sin x\right)=0$$
   
   Тогда
   $$\tg x=4{,}5 \quad \text{или} \quad 1+2\sin x=0.$$
   
   Отсюда
   $$\tg x=4{,}5 \quad \Rightarrow \quad x=\arctg 4{,}5+\pi n,$$
   $$\sin x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$
5. $$\left(\tg x+4\right)\left(\tg\frac{x}{2}-1\right)=0$$
   
   Тогда
   $$\tg x=-4 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=1.$$
   
   Отсюда
   $$\tg x=-4 \quad \Rightarrow \quad x=-\arctg 4+\pi n,$$
   $$\tg\frac{x}{2}=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
   Но эти значения не подходят, так как при них $$\tg\frac{x}{2}$$ не определён.
   Поэтому остаётся только
   $$x=-\arctg 4+\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$
6. $$\left(\tg\frac{x}{6}+1\right)\left(\tg x-1\right)=0$$
   
   Тогда
   $$\tg\frac{x}{6}=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$
   
   Отсюда
   $$\tg\frac{x}{6}=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{6}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   значит
   $$x=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n.$$
   Эти значения не подходят, так как при них $$\tg x$$ не определён.
   Поэтому
   $$\tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\arctg 2+\pi n,\; \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\arctg 4{,}5+\pi n,\; (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
5) $$x=-\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
6) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$