Упр.605 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 605 Доказать, что если 0 < = а < = 1, то 2 arcsin а = arccos (1 - 2а2). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 605 1111

Так как $$0 \le a \le 1,$$ то $$\arcsin a \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ значит

$$2\arcsin a \in [0;\pi].$$

Найдём косинус левой части:

$$ \cos\bigl(2\arcsin a\bigr)=1-2\sin^2(\arcsin a)=1-2a^2. $$

Найдём косинус правой части:

$$ \cos\bigl(\arccos(1-2a^2)\bigr)=1-2a^2. $$

Итак, обе части равенства имеют одинаковый косинус. При этом обе они принадлежат промежутку $$[0;\pi],$$ а на этом промежутке функция косинуса взаимно однозначна. Следовательно,

$$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2).$$

Ответ

$$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2).$$