Упр.605 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что если $$0 \leq a \leq 1$$, то $$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2)$$.

Так как $$0 \le a \le 1,$$ то $$\arcsin a \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ а значит

$$2\arcsin a \in [0;\pi].$$

Найдём косинус левой части:

$$\cos\bigl(2\arcsin a\bigr)=1-2\sin^2(\arcsin a)=1-2a^2.$$

Найдём косинус правой части:

$$\cos\bigl(\arccos(1-2a^2)\bigr)=1-2a^2.$$

Итак, обе части равенства имеют одинаковый косинус. Поскольку $$2\arcsin a \in [0;\pi]$$ и $$\arccos(1-2a^2)\in[0;\pi],$$ то на этом промежутке угол однозначно определяется своим косинусом. Следовательно,

$$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2).$$

Ответ: $$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2).$$