Упр.604 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1) $$\arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right)=\frac{\pi}{6}$$;

2) $$\arcsin(3-2x)=-\frac{\pi}{4}$$.

1) $$\arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right)=\frac{\pi}{6}$$

Так как $$\arcsin t=\frac{\pi}{6} \iff t=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ то

$$\frac{x}{2}-3=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=3+\frac12=\frac72,$$

$$x=7.$$

Проверка области определения:

$$-1\le \frac{x}{2}-3\le 1.$$

При $$x=7$$ получаем $$\frac72-3=\frac12,$$ что подходит.

2) $$\arcsin(3-2x)=-\frac{\pi}{4}$$

Так как $$\arcsin t=-\frac{\pi}{4} \iff t=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2},$$ то

$$3-2x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$6-4x=-\sqrt2,$$

$$4x=6+\sqrt2,$$

$$x=\frac{6+\sqrt2}{4}.$$

Проверка области определения:

$$-1\le 3-2x\le 1.$$

При найденном значении $$x$$ условие выполняется.

Ответ: 1) $$7$$; 2) $$\frac{6+\sqrt2}{4}$$.