Упр.600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что $$\arcsin(\sin a)=a$$ при $$-\frac{\pi}{2}\leq a\leq\frac{\pi}{2}$$. Вычислить:
   1) $$7\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)$$;
   2) $$4\arcsin\left(\sin\frac{1}{2}\right)$$;
   3) $$\arcsin\left(\sin\frac{6\pi}{7}\right)$$;
   4) $$\arcsin(\sin 5)$$.

По определению арксинуса $$\arcsin a=x,$$ если $$\sin x=a \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}.$$

Значит, для любого $$a$$ из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$ выполняется

$$\arcsin(\sin a)=a.$$

Теперь вычислим:

1. $$7\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=7\cdot\frac{\pi}{7}=\pi.$$

2. $$4\arcsin\left(\sin\frac12\right)=4\cdot\frac12=2.$$

3. $$\arcsin\left(\sin\frac{6\pi}{7}\right)=\arcsin\left(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)\right)=\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=\frac{\pi}{7}.$$

4. $$\arcsin(\sin 5)=\arcsin(\sin(5-2\pi))=5-2\pi,$$ так как $$-\frac{\pi}{2}\le 5-2\pi\le \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\pi;\ 2;\ \frac{\pi}{7};\ 5-2\pi.$$