Упр.600 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 7arcsin(sin пи/7);
2) 4arcsin(sin 1/2);
3) arcsin(sin 6пи/7);
4) arcsin (sin5).

По определению арксинуса, если $$\arcsin a = x,$$ то $$\sin x = a$$ и $$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}.$$

Значит, для любого $$\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$ выполняется

$$\arcsin(\sin \alpha)=\alpha.$$

Это и требовалось доказать.

Теперь вычислим:

1. $$7\arcsin\left(\sin \frac{\pi}{7}\right)=7\cdot \frac{\pi}{7}=\pi.$$

2. $$4\arcsin\left(\sin \frac{1}{2}\right)=4\cdot \frac{1}{2}=2.$$

3. $$\arcsin\left(\sin \frac{6\pi}{7}\right)=\arcsin\left(\sin\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)\right)=\arcsin\left(\sin \frac{\pi}{7}\right)=\frac{\pi}{7}.$$

4. Так как $$5=2\pi+(5-2\pi),$$ а $$5-2\pi \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right],$$ то

   $$\arcsin(\sin 5)=\arcsin(\sin(5-2\pi))=5-2\pi.$$

Ответ

$$\arcsin(\sin \alpha)=\alpha,\quad -\frac{\pi}{2}\le \alpha \le \frac{\pi}{2};$$

1) $$\pi$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{\pi}{7}$$; 4) $$5-2\pi$$.