Упр.598 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 598 Найти все корни уравнения sin x/2 = корень 3/2, удовлетворяющие неравенству logпи(х — 4пи) < 1. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 598 1111

Решим уравнение и учтём ограничение из неравенства:

$$ \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \log_{\pi}(x-4\pi)<1 $$

Из уравнения получаем:

$$ \frac{x}{2}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$

Тогда

$$ x=2\left((-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n\right)=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$

Теперь рассмотрим неравенство:

$$ \log_{\pi}(x-4\pi)<1 $$

Так как основание логарифма $$\pi>1$$, то

$$ 0<x-4\pi<\pi $$

Отсюда

$$ 4\pi<x<5\pi $$

Подставим корни уравнения и выберем те, которые попадают в этот промежуток. При $$n=1$$ получаем:

$$ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi=\frac{8\pi}{3} $$

Это не подходит, так как $$\frac{8\pi}{3}<4\pi$$. При $$n=2$$:

$$ x=\frac{2\pi}{3}+4\pi=\frac{14\pi}{3} $$

Проверяем:

$$ 4\pi<\frac{14\pi}{3}<5\pi $$

Следовательно, это и есть искомый корень.

Ответ

$$ \frac{14\pi}{3} $$