Упр.594 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Решить уравнение:
1) $$1-4\sin x\cos x=0$$;
2) $$3+4\sin x\cos x=0$$;
3) $$1+6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=0$$;
4) $$1-8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$.
1) $$1-4\sin x\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x=\frac12$$
$$\sin 2x=\frac12$$
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\sqrt3+4\sin x\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}$$
$$\sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}$$
$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$1+6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=0$$
$$3\cdot 2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}=-1$$
$$\sin\frac{x}{2}=-\frac13$$
$$\frac{x}{2}=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^{n+1}2\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$1-8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$
$$4\cdot 2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=1$$
$$\sin\frac{2x}{3}=\frac14$$
$$\frac{2x}{3}=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{3}{2}\arcsin\frac14+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
$$1)\; x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$2)\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
$$3)\; x=(-1)^{n+1}2\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$4)\; x=(-1)^n\frac{3}{2}\arcsin\frac14+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
