Упр.593 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Выяснить, имеет ли смысл выражение:
   1) $$\arcsin(\sqrt{5}-2)$$;
   2) $$\arcsin(\sqrt{5}-3)$$;
   3) $$\arcsin(3-\sqrt{7})$$;
   4) $$\arcsin(2-\sqrt{10})$$;
   5) $$\operatorname{tg}\left(6\arcsin\frac{1}{2}\right)$$;
   6) $$\operatorname{tg}\left(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$.

Арксинус определён только для значений из отрезка $$[-1;1].$$ Проверим, принадлежат ли этому отрезку выражения под знаком арксинуса.

1. $$\arcsin(\sqrt{5}-2)$$

   Так как $$4<5<9,$$ то $$2<\sqrt{5}<3.$$ Тогда

   $$0<\sqrt{5}-2<1.$$

   Значит, выражение имеет смысл.

2. $$\arcsin(\sqrt{5}-3)$$

   Так как $$2<\sqrt{5}<3,$$ то

   $$-1<\sqrt{5}-3<0.$$

   Значит, выражение имеет смысл.

3. $$\arcsin(3-\sqrt{17})$$

   Так как $$16<17<25,$$ то $$4<\sqrt{17}<5.$$ Тогда

   $$-2<3-\sqrt{17}<-1.$$

   Число $$3-\sqrt{17}$$ не принадлежит отрезку $$[-1;1],$$ значит, выражение не имеет смысла.

4. $$\arcsin(2-\sqrt{10})$$

   Так как $$9<10<16,$$ то $$3<\sqrt{10}<4.$$ Тогда

   $$-2<2-\sqrt{10}<-1.$$

   Следовательно, выражение не имеет смысла.

5. $$\tg\left(6\arcsin\frac12\right)$$

   $$\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},$$ значит

   $$\tg\left(6\arcsin\frac12\right)=\tg\left(6\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\tg\pi=0.$$

   Выражение имеет смысл.

6. $$\tg\left(2\arcsin\frac{\sqrt2}{2}\right)$$

   $$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$ значит

   $$\tg\left(2\arcsin\frac{\sqrt2}{2}\right)=\tg\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\tg\frac{\pi}{2}.$$

   Тангенс угла $$\frac{\pi}{2}$$ не определён, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) да; 6) нет.